Bloque 1. Analiza y resuelve situaciones básicas de probabilidad

Bloque 1. Analiza y resuelve situaciones básicas de probabilidad

TÉRMINOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de  Zermelo - Fraenklen es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

EJEMPLOS:

Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias por alguna radio  F.M. de la región, señaló que:

277 preferían Carolina

233 preferían Manquehue

405 preferían Tiempo

165 preferían Manquehue y Tiempo

120 preferían Manquehue y Carolina

190 preferían Carolina y Tiempo

105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas

Determine:

a)    ¿Cuántos jóvenes fueron encuestados?

b)    ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina?

c)    ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina y Tiempo?

Solo C= 277-120+105-190+105-105                      Solo M= 233-120+105-105-165+105

Solo C= 72 jóvenes                                                 Solo M= 53 jóvenes

Solo C y M= 120-105= 15    Jóvenes                      Solo C y T= 190-105= 85 jóvenes

Solo M y T= 165-105= 60    jóvenes

Sólo T= 405-190+105-165+105-105= 545 jóvenes

Total jóvenes encuestados= 72+53+15+85+60+155+105= 545 jóveses

a)    Fueron encuestados 545 jóvenes

b)    Sólo Carolina prefieren 72 jóvenes

c)    Solo Carolina y Tiempo prefieren 85 jóvenes

Demuestre:

1.-(A - B) Ç B  =  f

   (A Ç B^c) Ç B = f

     AÇ(B^c Ç B)  = F

     A Ç    f     =    f

           f        =     f

2.-  (A – B) Ç (A - C)     =    A – (B È C)

      (A Ç B^c) Ç (A Ç C^c) =    A – (B È C)

      A Ç (B^c  Ç A ) Ç C^c =    A – (B È C)

      (A Ç A) Ç(B^c  Ç C^c) =   A – (B È C)

      A  Ç  (B  È  C)^c          =    A – (B È C)

      A  –  (B   È   C)       =    A – (B È C)

3.-  n[A È  ( B  È C ) ]   = n(A) + n(B) + n(C) - n(A Ç B) - n(AÇC) - n(BÇC) + n[AÇ(BÇC)] 

  n[A È ( B ÈC )]  =  n(A) + n(BÈC) - n[AÇ(BÈC)]

                            =  n(A) + n(B) + n(C) - n(BÇC) - n[(AÇB)È(AÇC)]

                            = n(A) + n(B) + n(C) - n(B Ç C) - n(A Ç B) - n(A Ç C) + [ n(A Ç B) Ç (AÇC)]

                            = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ÇB) - n(AÇC) - n(BÇC) + n[AÇ(BÇC)]

4.-  (A È A) Ç (A È B^c) = A

      A  Ç (A È B^c  )       = A

               A                 = A

             A                    = A

5.-   (B Ç C) È A        =    (B È A) Ç (C È A)

       A  È (B Ç C)        =   (B È A) Ç (C È A)

       ( A È B) Ç (A È C) =  (B È A) Ç (C È A)

       (BÈA)Ç(CÈA)      =   (BÈA)Ç(CÈA)

Simplificar:

1.-  A  È [ (B Ç (A È B) ) Ç (A È (A Ç B) ) ]

      A  È [ (B Ç A) È (B Ç B) ] Ç(A È A) Ç (AÈB)

      A  È [ (B Ç A) È (B Ç B) ] Ç A Ç (A È B)

      A È [B Ç A] È B= B

      (A È B) Ç (A È A)

      (A È B) Ç (A)

                A

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

TÉCNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían:
-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?
-¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.
-¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

1.1 Principio aditivo. 
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ….. y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de:

                M + N + ………+ W  maneras o formas

1.2 Principio multiplicativo.

Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas

Utilizando una fórmula: Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de 2 eventos, para 3 eventos, m, n, y o: Núm. total de arreglos = m x n x o

Ejemplo: Un vendedor de autos desea mostrar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta, auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar.

¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2 = 6

EJERCICIOS:

1. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en un estante 5 libros diferentes si se toman 
todos a la vez? 
R: Permutaciones. 5
P5 = 5! = 120

2. De un grupo de 11 edecanes se deben seleccionar a cuatro para que asistan a una 
exposición. Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer. 
R: Combinaciones 11C4 = 330 

3. Un vendedor tiene una cartera de 15 empresas. ¿Cuántas recorridos distintas puede 
realizar para visitar a seis de estos clientes en un día determinado? 
R: Recorrido implica orden. 15P6 = 3603600 

4. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales? 
R: No importa el orden de selección de puntos para formar el triángulo. Es 
combinación. 7
C3 = 35. 

5. Un asesor financiero cuenta con ocho opciones para invertir y ofrece a sus clientes 
carteras con cinco de estas opciones. ¿Cuántas carteras diferentes puede ofrecer? 
R: No importa el orden de selección. 8
C5 = 56 

6. Una caja contiene ocho dulces de menta y cuatro de fresa. 
a. ¿De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin 
diferenciar el color? 
R: 12C5 = 792 
b. ¿De cuántas maneras se pueden sacar cinco dulces al azar y tener como resultado 
final tres dulces de menta y dos de fresa? 
R: (8
C3) (4
C2) = (56)(6) =336 
c. Considerando los resultados de a. y b., ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 
cinco dulces al azar se obtengan tres de menta y dos de fresa? 
P(Tres de Menta y dos de fresa) = 336/792 = 0.4242 

7. Se tiene un lote de diez baterías para un celular. Se sabe que tres de ellas no funcionan. 
a. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sacar tres baterías al azar y que todas 
funcionen? 
(7C3) = 35
b. Si se extraen tres baterías al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres 
funcionen? 
P(tres funcionen) = (7
C3) / (10C3) = 35 / 120 = 0.2917 
c. ¿De cuántas maneras se pueden extraer tres baterías al azar y obtener solamente 
una sin funcionar? 
(
3
C1) (7
C2) = (21)(3)= 63
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres pilas al azar obtener solo una sin 
funcionar? 
P(Sólo una no funcione) =(3
C1) (7
C2) / (10C3) = 63 / 120 = 0.5203