PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

viernes, 3 de mayo de 2013

Bloque 3. Comprende, representa y aplica la probabilidad condicional y distribución de variables aleatorias discretas

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

EJEMPLOS:

---La paradoja del falso positivo---

La magnitud de este problema es la mejor entendida en términos de probabilidades condicionales.

Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:

$P(enfermo) = 1% = 0.01$ y $P(sano) = 99% = 0.99$

Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:

$P(positivo|sano) = 1%$ y $P(negativo|sano) = 99%$

Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:

$P(negativo|enfermo) = 1%$ y $P(positivo|enfermo) = 99%$

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:

La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:

$P( sano \cap negativo) = P(sano) \times P(negativo|sano)=99% \times 99%=98.01%$

La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

$P( enfermo \cap positivo) = P(enfermo) \times P(positivo|enfermo) = 1% \times 99% = 0.99%$

La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:

$P( sano \cap positivo) = P(sano) \times P(positivo|sano) = 99% \times 1% = 0.99%$

La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:

$P( enfermo \cap negativo) = P(enfermo) \times P(negativo|enfermo) = 1% \times 1% = 0.01%$

Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:

$P( positivo ) = P ( sano \cap positivo ) + P ( enfermo \cap positivo ) = 0.99% + 0.99% = 1.98%$

Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:

$P(enfermo|positivo) = \frac{P(enfermo \cap positivo)}{P(positivo)}=\frac{0.99%}{1.98%}=50%$

En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo dé positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.

La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: $P(enfermo) = 0,001$

La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: $P(positivo|enfermo) = 0,99$

La probabilidad de falso positivo es de 0,05: $P(positivo|sano) = 0,05$

Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

$P(enfermo|positivo)=\frac{P(enfermo) \times P(positivo|enfermo)}{P(positivo)}$ $P(enfermo|positivo)= P(enfermo) \times \frac{P(positivo|enfermo)}{P(enfermo) \times P(positivo|enfermo)+P(sano) \times P(positivo|sano)}$ $P(enfermo|positivo)=\frac{ 0,001 \times 0,99 }{0,001 \times 0,99+0,999 \times 0,05}= 0,019= 1,9%$

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Definición

Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87. Otros ejemplos de variable discreta serían el número de pollos de gorrión que llegan a volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos.

Densidad

Se denomina densidad discreta a la probabilidad de que una variable aleatoria discreta X tome un valor numérico determinado (x). Se representa:

f(x) = P[X=x]

La suma de todas las densidades será igual a 1

${\sum_{todo_x} f(x)} = 1$

FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS :

La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser:

1.- Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelo

matemático y que representa algún fenómeno de interés.

2.- Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas.

3.- Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales

que representan el grado de convicción del encargado en tomar decisiones sobre la probabilidad

de posibles resultados.

Sabemos que una variable aleatoria discreta o discontinua es aquella en la que existe una distancia

bien definida entre dos de los valores consecutivos que asume; y dichos valores son numerables.

Existen varios modelos matemáticos que representan diversos fenómenos discretos de la vida real.

Las más útiles son:

1.- La distribución uniforme discreta.

1.- La distribución de probabilidad Binomial o de Bernoulli.

2.- La distribución de probabilidad Hipergeométrica.

3.- La distribución de probabilidad de Poisson.

REPRESENTACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD PARA LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

CALCULO DE LA MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Media

También llamada media o promedio. La media aritmética es el promedio de un conjunto de números, a₁, a₂, a₃, . . ., a_n, obtenida sumando todos los números y dividiéndola entre n.

(media aritmética) = (a₁+a₂+a₃+ . . . +a_n)/n

Esta es una manera de encontrar un valor representativo de un conjunto de números. El resultado es que sólo necesitamos trabajar con un número (la media aritmética) en lugar de un gran conjunto de datos, cuando se considera apropiado.

Desviación estándar

La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos.

La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. Así que, "¿qué es la varianza?"

Varianza

la varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ²) se define así:

Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.

En otras palabras, sigue estos pasos:

1. Calcula la media (el promedio de los números)
2. Ahora, por cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado).
3. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado.

Donde

xi= dato i que esta entre (o, n)

x= promedio de los datos

n= numero datos

EJEMPLOS:

Bloque 2. Aplica la probabilidad simple y conjunta

PROBABILIDAD SIMPLE

La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.
Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.
Ejemplo Probabilidad simple

| Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder |
Probabilidad = | |
| Cantidad total de posibles resultados |
Ejemplo: Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
Solución:
* Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
* 68 ÷ 87 = 0.781609
* Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

Árbol de Probabilidad o Diagrama de Árbol
Sea lanza una moneda cargada, a favor del lado del águila, si cae águila la moneda se saca una bola de una urna A en caso contrario de la urna B, la urna A tiene objetos de tipo s, la urna B objetos de tipo r, se sabe que por el contrario la urna B tiene objetos de tipo s y r, pero no la misma cantidad. Bosqueje mediante un diagrama de árbol la solución, a fin de encontrar la probabilidad

EJERCICIOS:

Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

----------------------

Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

Ejemplo: Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

PROBABILIDAD CONJUNTA

EJERCICIOS:

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES ENTRE SI

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).

Ejemplo:

Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Ejemplo:

Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.

Reglas de la Adición

La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) si A y B son no excluyentes

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A

P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B

P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

EJERCICIOS:

Supongase que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica ¿cual es la posibilidad de sacar una canica roja?

Canicas rojas: 3
Canicas azules: 3
Canicas verdes: 4
Total de canicas: 3 + 3 + 4 = 10

P (x) = 3 / ( 3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%

Existe un 30% de posiblidad de sacar una canica roja
1 si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3 puntos o menos o
B caen 5 puntos o mas
Como son Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6

2 se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.
Cual es la probabilidad de:
A sale un papel azul o
B sale un papel rojo
P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 + 15/50
=25/50
=1/2

Eventos independientes
1 En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.
Cual es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una
P(AyB)=P(A)*P(B)
=7/20 * 12/20
=84/400
=81/100

2 en una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.
Cual es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.
P(AyB)=P(A) * P(B)
=13/52 * 13/52
=169/2704

Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultanea.

Ejemplo: Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco

Ejemplo: lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

Eventos de un espacio muestral son excluyentes si su interseccion es el vacio y no son excluyentes si su interseccion es distinta del vacio, es decir, si tienen elementos en comun.

Por ejemplo, sea el experimento: se lanza un dado.
Definamos el evento E1 como E1=Sale el numero dos. Y el evento E2 como E2=Sale un numero par. Por lo tanto,
E1={ 2 } y E2={ 2, 4, 6 }
Como E1 interseccion E2 = { 2 } que es distinto del conjunto vacio, concluimos que E1 y E2 son eventos NO excluyentes.
Si definimos E3=Sale un numero impar, entonces
E2 interseccion E3 = el conjunto vacio, pues no hay ningun numero que pueda estar en E1 y en E3 (i.e. que pueda ser par e impar al mismo tiempo). Por lo tanto E2 y E3 son eventos excluyentes.
Y asi te construyes mas ejemplos de experimentos, y defines eventos en el espacio muestral tales que su interseccion sea no vacia.

EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

EJERCICIOS:

a) Probabilidad de sucesos independientes

b) Probabilidad de sucesos dependientes

Bloque 1. Analiza y resuelve situaciones básicas de probabilidad

TÉRMINOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo - Fraenklen es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

EJEMPLOS:

Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias por alguna radio F.M. de la región, señaló que:

277 preferían Carolina

233 preferían Manquehue

405 preferían Tiempo

165 preferían Manquehue y Tiempo

120 preferían Manquehue y Carolina

190 preferían Carolina y Tiempo

105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas

Determine:

a) ¿Cuántos jóvenes fueron encuestados?

b) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina?

c) ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina y Tiempo?

Solo C= 277-120+105-190+105-105 Solo M= 233-120+105-105-165+105

Solo C= 72 jóvenes Solo M= 53 jóvenes

Solo C y M= 120-105= 15 Jóvenes Solo C y T= 190-105= 85 jóvenes

Solo M y T= 165-105= 60 jóvenes

Sólo T= 405-190+105-165+105-105= 545 jóvenes

Total jóvenes encuestados= 72+53+15+85+60+155+105= 545 jóveses

a) Fueron encuestados 545 jóvenes

b) Sólo Carolina prefieren 72 jóvenes

c) Solo Carolina y Tiempo prefieren 85 jóvenes

Demuestre:

1.-(A - B) Ç B = f

(A Ç B^c) Ç B = f

AÇ(B^cÇ B) = F

A Ç f = f

f = f

2.- (A – B) Ç (A - C) = A – (B È C)

(A Ç B^c) Ç (A Ç C^c) = A – (B È C)

A Ç (B^c Ç A ) Ç C^c = A – (B È C)

(A Ç A) Ç(B^c Ç C^c) = A – (B È C)

A Ç (B È C)^c = A – (B È C)

A – (B È C) = A – (B È C)

3.- n[A È ( B È C ) ] = n(A) + n(B) + n(C) - n(A Ç B) - n(AÇC) - n(BÇC) + n[AÇ(BÇC)]

n[A È ( B ÈC )] = n(A) + n(BÈC) - n[AÇ(BÈC)]

= n(A) + n(B) + n(C) - n(BÇC) - n[(AÇB)È(AÇC)]

= n(A) + n(B) + n(C) - n(B Ç C) - n(A Ç B) - n(A Ç C) + [ n(A Ç B) Ç (AÇC)]

= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ÇB) - n(AÇC) - n(BÇC) + n[AÇ(BÇC)]

4.- (A È A) Ç (A È B^c) = A

A Ç (A È B^c) = A

A = A

5.- (B Ç C) È A = (B È A) Ç (C È A)

A È (B Ç C) = (B È A) Ç (C È A)

( A È B) Ç (A È C) = (B È A) Ç (C È A)

(BÈA)Ç(CÈA) = (BÈA)Ç(CÈA)

Simplificar:

1.- A È [ (B Ç (A È B) ) Ç (A È (A Ç B) ) ]

A È [ (B Ç A) È (B Ç B) ] Ç(A È A) Ç (AÈB)

A È [ (B Ç A) È (B Ç B) ] Ç A Ç (A È B)

A È [B Ç A] È B= B

(A È B) Ç (A È A)

(A È B) Ç (A)

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

TÉCNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían:
-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?
-¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.
-¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

1.1 Principio aditivo.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ….. y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de:

M + N + ………+ W maneras o formas

1.2 Principio multiplicativo.

Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas

Utilizando una fórmula: Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de 2 eventos, para 3 eventos, m, n, y o: Núm. total de arreglos = m x n x o

Ejemplo: Un vendedor de autos desea mostrar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta, auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar.

¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2 = 6

EJERCICIOS:

1. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en un estante 5 libros diferentes si se toman
todos a la vez?
R: Permutaciones. 5
P5 = 5! = 120

2. De un grupo de 11 edecanes se deben seleccionar a cuatro para que asistan a una
exposición. Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer.
R: Combinaciones 11C4 = 330

3. Un vendedor tiene una cartera de 15 empresas. ¿Cuántas recorridos distintas puede
realizar para visitar a seis de estos clientes en un día determinado?
R: Recorrido implica orden. 15P6 = 3603600

4. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales?
R: No importa el orden de selección de puntos para formar el triángulo. Es
combinación. 7
C3 = 35.

5. Un asesor financiero cuenta con ocho opciones para invertir y ofrece a sus clientes
carteras con cinco de estas opciones. ¿Cuántas carteras diferentes puede ofrecer?
R: No importa el orden de selección. 8
C5 = 56

6. Una caja contiene ocho dulces de menta y cuatro de fresa.
a. ¿De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin
diferenciar el color?
R: 12C5 = 792
b. ¿De cuántas maneras se pueden sacar cinco dulces al azar y tener como resultado
final tres dulces de menta y dos de fresa?
R: (8
C3) (4
C2) = (56)(6) =336
c. Considerando los resultados de a. y b., ¿cuál es la probabilidad de que al sacar
cinco dulces al azar se obtengan tres de menta y dos de fresa?
P(Tres de Menta y dos de fresa) = 336/792 = 0.4242

7. Se tiene un lote de diez baterías para un celular. Se sabe que tres de ellas no funcionan.
a. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sacar tres baterías al azar y que todas
funcionen?
(7C3) = 35
b. Si se extraen tres baterías al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres
funcionen?
P(tres funcionen) = (7
C3) / (10C3) = 35 / 120 = 0.2917
c. ¿De cuántas maneras se pueden extraer tres baterías al azar y obtener solamente
una sin funcionar?
(
3
C1) (7
C2) = (21)(3)= 63
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres pilas al azar obtener solo una sin
funcionar?
P(Sólo una no funcione) =(3
C1) (7
C2) / (10C3) = 63 / 120 = 0.5203

viernes, 3 de mayo de 2013

Bloque 3. Comprende, representa y aplica la probabilidad condicional y distribución de variables aleatorias discretas

Varianza

Bloque 2. Aplica la probabilidad simple y conjunta

a) Probabilidad de sucesos independientes

b) Probabilidad de sucesos dependientes

Bloque 1. Analiza y resuelve situaciones básicas de probabilidad

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